楕円関数の二重周期性 - e倍アイスクリーム

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今回の曲は、事務員Gさんのジブリメドレーです。

ジブリ長編映画の曲を全部つなげて弾いてみた【事務員G】 - ニコニコ動画

前回の復習

$y=arcsinx$ の積分表示は、

$\displaystyle arcsinx= \int \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } } dx\tag1$

(1)式が、 $y=sinx$ の逆関数になっているというのですから興味深いです。

前回は、関数→積分表示しました。(→:逆関数にする)

では、(楕円)積分→関数はどうなるのでしょうか。

楕円積分の定義をしっかり書いておきます。

楕円積分

$P_{(x)}$ を三次または四次の(有理)関数とするとき、

$\displaystyle \int \sqrt{ P_{(x)} }$ を楕円積分といいます。

また、全ての楕円積分は初等的な操作で積分できるか、Legendre-Jacobiの標準形に変形することができます。

では、楕円積分の逆関数を求めていきたい。ここでは、(1)式に倣って、

$\displaystyle z_{( \omega) } = \int_ {\omega_{0}} ^ {\omega} \frac{1}{ \sqrt{ P_{ (\omega) } } } d \omega\tag2$

とする。

(2)式の意味は、 $\frac{1}{ \sqrt{ P_{ (\omega) } } }$ を、 $\omega _{0}$ を始点とし、 $\omega$ を終点とする積分路 $\gamma _{( \omega _{0}, \omega ) }$ に沿って線積分するという意味ですね。

また、三次または四次の関数であるので、因数分解すると、

$\displaystyle \int_ {\omega_{0}} ^ {\omega} {\frac{1}{ \sqrt{ ( \omega - \alpha _{1} )( \omega - \alpha _{2} )( \omega - \alpha _{3} )( \omega - \alpha _{4} )}}}d\omega$

と変形できて、 $\alpha _{j} (1 \leq j \leq 4)$ は特異点であるので、この周りを１周して積分できません。

なので、 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ を両端とする「線分」 $\ell _{1}$ と、 $\alpha_{3},\alpha_{4}$ を結ぶ「線分」 ${\ell _{1}} ^{'}$ を交わらないようにとって、領域 $D_{1}= {\mathbb {C}}^{*} - {\ell _{1} } \cup {\ell _{1}} ^{'}$ における積分路、あるいは

すいません。続きはPCが固まった際に全部消えました。もう少しで更新するんで、待っててください。