2.逆関数
目次→こちら
2講目です。
曲は「Get Wild」です。
H ZETT Mさんによるアレンジです。のびのびとしていていいですね。
では、前回「Legendre-Jacobiの標準形の逆関数として、sn,cn,dn関数を定めた。」また、それらについては「いつか紹介する。」と記しました。
確かに、まだ紹介できるほどの暇はないのですが、これから楕円積分から楕円関数を導出していく上で、どちらにしろ、「逆関数」が少し登場してくるので、少し説明をしたいと思います。わかってる人は見なくて良いです。
逆関数とは、を軸として対象移動した関数です。
(とを入れ替えた関数と言っても良いと思います。
つまり、をにするという認識で構いません。)
例えば、
青線がで、赤線がです。
の逆関数はですが、一応理由を示しておきます。
命題
の逆関数は
の両辺を対数でとって、
よってとの場所を入れ替えて、
■
では、の逆関数は何でしょうか。
命題 の逆関数は何か。
図で示すと、
先に書いたとおり、の逆関数はですが、通常は、やと書きます。(しかし、は周期関数ですので、同じ値を無限に取ることができ、逆関数も無限に生成されてしまうため、定義域をに固定します。とはいえ、一周期までであればどこを固定しても大丈夫ですね。)
解答
の逆関数は
これで逆関数の概説を終えます。
番外編
の積分表示は、