1.楕円の弧長

楕円関数論

 

 

初回の音楽は「砕月」です。

 

 

この曲は、まらしぃさん率いる「logical emotion」というバンドによってアレンジされたものです。

【東方】「砕月」をセッションしてみた【ろじえも】 - ニコニコ動画

 

では、やっていきましょう。

17,8世紀人々は楕円の弧の長さを求めようとしました。

なぜなら、振り子の運動をより厳密に言い表せるからです。

しかし、これがまた難しいもので、これを元として楕円積分というひとつの分野が生まれたほどです。

ともかく、先人たちに倣って、我々も求めていきたいと思います。

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楕円の方程式は

\frac{ x^{2} }{ a^{2} } + \frac{ y^{2} }{ b^{2} } =1

で与えられます。例えば

　　　　　　　　　

　　f:id:higashinobu12:20180426200429g:plain　　　等です。
変形すると、

y= \pm b \sqrt{1- \frac{ x^{2} }{ a^{2} } }

 で、これをｘについて微分します。

\frac{dy}{dx} = \pm b \frac{-2 \frac{x}{ a^{2} } }{ \sqrt{1- \frac{ x^{2} }{ a^{2} } } } \times \frac{1}{2} = \mp \frac{b}{a} \frac{ \frac{x}{a} }{ \sqrt{1- \frac{x}{ a^{2} } } } \tag{1}

 

 

ここで、dsを求めていきたいと思います。

f:id:higashinobu12:20180426204048j:plain

 

ds= \sqrt{ (dx)^{2}+ (dy)^{2} } = \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx}) ^{2} } dx

 (1)より

= \sqrt{1+ ( \frac{b}{a}) ^{2} \frac{ (\frac{x}{a}) ^{2} }{1- (\frac{x}{a} )^{2} } } dx

 

ここで k^{2}= \frac{ a^{2} - b^{2} }{ a^{2} } とすると、

= \sqrt{ \frac{1- k^{2} ( \frac{x}{a}) ^{2} }{1- (\frac{x}{a}) ^{2} } } dx

更に、z= \frac{x}{a} とすると、

= \sqrt{ \frac{1- k^{2} z^{2} }{1- z^{2} } } dzと書けます。

 

よってここに楕円の弧長

\displaystyle s= \int_0^z \sqrt{ \frac{1- k^{2} z^{2} }{1- z^{2} } } dz\tag{2}      がでました。

 

(x=asin \theta(媒介変数表示）よりz= \frac{x}{a} =sin \theta なので、これを代入してsin \theta の関数として扱うことが（特に物理学では）多いです。）

 

（２）式のような積分を楕円積分といいます。

また、楕円積分は代表例が３つあり、これらを総称して

Legendre-Jacobiの標準形と呼びます。

 

Legendre-Jacobiの標準形

 

第一種\displaystyle I_{1} = \int \sqrt{ \frac{1}{(1- z^{2})(1- k^{2} z^{2} ) } } dz

 

第二種\displaystyle I_{2}= \int \sqrt{ \frac{1- k^{2} z^{2} }{1- z^{2} } } dz

 

第三種\displaystyle I_{3}= \int \frac{1}{(1+n z^{2}) \sqrt{(1- z^{2})(1- k^{2} z^{2} ) } } dz
*Jacobiはこれらの逆関数として、sn,cn,dn関数を定めました。
しかしここでの深入りは避けておくことにします。
（暇があればその時にやります。）